Question

已知對任意x∈R，不等式

1

2X2+X

＞(

1

2

)2X2-mx+m+4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：化簡不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式為二次不等式，通過判別式解決恒成立問題，求出m的范圍．

解答：解：原不等式為(

1

2

)x2+x＞(

1

2

)2x2-mx+m+4，由函數(shù)y=(

1

2

)x是減函數(shù)…（4分）
得x²+x＜2x²-mx+m+4恒成立，…（6分）
即x²-（m+1）x+m+4＞0恒成立，…（8分）
∴△=（m+1）²-4（m+4）＜0…（10分）
∴-3＜m＜5…（12分）

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立條件的應(yīng)用，二次不等式的解法，考查計算能力．