Question

已知對任意m∈R，直線x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切線．
（I）求a的取值范圍；
（II）求證在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）導函數的值域，由直線x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax的切線得到-1不屬于導函數的值域，得到關于a的不等式，求出解集得到a的取值范圍即可；
（II）要證的問題等價于當x∈[-1，1]時，|f(x)|max≥

1

4

，設g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數，故只要證明當x∈[0，1]時，|f(x)|max≥

1

4

，分a小于等于0和a大于0小于

1

3

兩種情況，討論f'（x）的正負化簡絕對值并得到函數的增減區間，根據函數的增減性分別求出|f（x）|的最小值比

1

4

大得證．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對任意m∈R，直線x+y+m=0都不是y=f（x）的切線，
∴-1∉[-3a，+∞），-1＜-3a，實數a的取值范圍是a＜

1

3

；
（II）證明：在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立等價于當x∈[-1，1]時，|f(x)|max≥

1

4

，
設g（x）=|f（x）|，g（x）在x∈[-1，1]上是偶函數，故只要證明當x∈[0，1]時，|f(x)|max≥

1

4

，
①當a≤0時，f'（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，g（x）=f（x），g(x)max=f(1)=1-3a＞1＞

1

4

；
②當0＜a＜

1

3

時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，列表：

f（x）在(0，

a

)上遞減，在(

a

，1)上遞增，
∵

a

＜

3a

＜1，
∴x∈(0，

3a

)時，g（x）=-f（x），x∈(

3a

，1)時，g（x）=f（x），
∴g(x)min=min{f(1)，-f(

a

)}，
若-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a≤ 

1

3

，則g(x)max=-f(

a

)=2a

a

＞

1

4

若-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a＜

1

4

，則g(x)max=f(1)=1-3a＞

1

4

；
∴在x∈[-1，1]上至少存在一個x₀，使得|f(x0)|≥

1

4

成立．

點評：此題是一道綜合題，要求學生會利用導數求曲線上某點切線方程的斜率，掌握不等式恒成立時所取的條件以及導數在最值問題中的應用．