Question

已知對任意m∈R，直線x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax（a∈R）的切線，則a的取值范圍是（　　）

• A．a＞

  1

  3

• B．a≥

  1

  3

• C．a＜

  1

  3

• D．a≤

  1

  3

Answer 1

分析：求出f（x）導函數的值域，由直線x+y+m=0都不是f（x）=x³-3ax的切線得到-1不屬于導函數的值域，得到關于a的不等式，求出解集得到a的取值范圍即可．

解答：解：由f（x）=x³-3ax可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵對任意m∈R，直線x+y+m=0都不是y=f（x）的切線，
∴-1∉[-3a，+∞），
∴-1＜-3a，實數a的取值范圍是a＜

1

3

故選C．

點評：本題考查用導數求曲線上某點切線的斜率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．