Question

已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，
（1）若是大于的正整數(shù)，求證：；
（2）若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；
（3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

（1）
（2）存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。

試題分析：設(shè)的公差為，由，知，（）
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004353607542.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004353825251.png" style="vertical-align:middle;" />是正整數(shù)，所以是整數(shù)，即是整數(shù)，設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為
，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=
現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可，，所以
，若，則，那么，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004354200593.png" style="vertical-align:middle;" />，只要考慮的情況，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004353700487.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因此是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，因此數(shù)列中任意一項(xiàng)為
與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。
（3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有
2設(shè)，所以2，令，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004353763375.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，即存在使得中有三項(xiàng)成等差數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：難題，等比數(shù)列、等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容，已是高考必考內(nèi)容，其難度飄忽不定，有時(shí)突出考查求和問題，如“分組求和法”、“裂項(xiàng)相消法”、“錯(cuò)位相減法”等，有時(shí)則突出涉及數(shù)列的證明題，如本題，突出考查學(xué)生的邏輯思維能力。本題解法中，注意通過構(gòu)造“一般項(xiàng)”加以研究，帶有普遍性。