Question

如圖，E為矩形ABCD所在平面外一點，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC∩BD=G．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱錐C-BGF的體積．

Answer 1

分析：（1）通過AD⊥平面ABE，得到AE⊥BC，證明AE⊥BF．然后證明AE⊥平面BCE；
（2）得G是AC的中點，連FG，推出CE⊥BF．通過F是EC的中點，然后證明FG⊥平面BCF求出S_△CFB．然后求出體積．

解答：解：（1）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC．
∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．…（3分）
又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF．…（5分）
又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（7分）
（2）由題意，得G是AC的中點，連FG，
∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF．
而BC=BE，∴F是EC的中點…（9分）
∴AE∥FG，且FG=

1

2

AE=1．
而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．…（11分）
∴Rt△BCE中，BF=

1

2

CE=CF=

2

．
∴S△CFB=

1

2

×

2

×

2

=1．
∴VC-BGF=VG-BCF=

1

3

•S△CFB•FG=

1

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力．