Question

如圖，在四面體P-ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點；
（1）求證：DE∥平面BCP；
（2）求證：四邊形DEFG為矩形．

Answer 1

分析：（1）要證DE∥平面BCP根據線面平行的判定定理需證明DE與平面BCP內的一條直線平行而者可通過D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點利用中位線定理和平行的傳遞性即可得出DE

∥

.

GF．
（2）根據（1）可得DE

∥

.

GF即四邊形DEFG為平行四邊形再利用PC⊥AB和中位線定理可得DE⊥DG故四邊形DEFG為矩形．

解答：證明：（1）∵D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點
∴DE

∥

.

1

2

PC，GF

∥

.

1

2

PC
∴DE

∥

.

GF
∵DE?平面BCP，GF⊆平面BCP
∴DE∥平面BCP
（2）由（1）可得DE

∥

.

GF，DG

∥

.

EF
∴四邊形DEFG為平行四邊形
∵PC⊥AB，DE

∥

.

1

2

PC，DG

∥

.

1

2

AB
∴DE⊥DG
∴四邊形DEFG為矩形

點評：本題主要考察線面平行的判定和矩形的證明，屬常考題，較難．解題的關鍵是透徹理解線面平行的判定定理和平面四邊形為矩形的判定定理，同時要注意中位線定理在本題中的應用！