Question

（2012•衡陽模擬）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD的邊BC垂直于圓O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）求三棱錐的體積V_F-ABC．

Answer 1

分析：（1）通過證明AF⊥CB，AF⊥BF，CB∩BF=B，然后證明AF⊥平面CBF．
（2）設DF的中點為N，證明MNAO為平行四邊形，說明OM∥AN，然后證明OM∥平面DAF．
（3）求出幾何體的底面面積與高，即可求解幾何體的體積．

解答：解：（1）證明：∵CB⊥平面ABEF
又AF?平面ABEF，∴AF⊥CB…（1分）
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF…（2分）
又CB∩BF=B，CB，BF?平面CBF
∴AF⊥平面CBF…（4分）
（2）設DF的中點為N，則MN

∥ .

.

1

2

CD，又AO

∥ .

.

1

2

CD，
則MN

∥ .

.

AO，∴MNAO為平行四邊形          …（6分）
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF…（7分）
∴OM∥平面DAF…（8分）
（3）由平面幾何知識知EF=1，OBEF是平行四邊形，AF=1 …（9分）
∴BF=

3

，∴S△ABF=

1

2

3

…（10分）
又∵CB⊥平面ABEF
∴V_F-ABC=VC-ABF=

1

3

CB•S△ABF=

1

2

3

…（12分）

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與平面的垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力．