Question

12．2016年春節期間全國流行在微信群里發、搶紅包，現假設某人將688元發成手氣紅包50個，產生的手氣紅包頻數分布表如下：

金額分組	[1，5）	[5，9）	[9，13）	[13，17）	[17，21）	[21，25]
頻數	3	9	17	11	8	2

（I）求產生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；
（Ⅱ）估計手氣紅包金額的平均數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（III）在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．
（i）若紅包金額在區間內為最佳運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率；
（ii）隨機抽取手氣紅包金額在內的兩名幸運者，設其手氣金額分別為m，n，求事件“|m-n|＞16”的概率．

Answer 1

分析 （I）由等可能事件概率計算公式能求出產生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率．
（Ⅱ）由產生的手氣紅包頻數分布表能求出手氣紅包金額的平均數．
（III） （i）紅包金額在區間內有2人，由此能求出搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率．
（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內有3人，設紅包金額分別為a，b，c，在[21，25]內有2人，設紅包金額分別為x，y．由此利用列舉法能求出事件“|m-n|＞16”的概率．

解答 解：（I）由題意得$P=\frac{17+11+8+2}{50}=\frac{19}{25}$，
因此產生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率為$\frac{19}{25}$…（2分）
（Ⅱ） 手氣紅包金額的平均數為：
$\overline x=3×0.06+7×0.18+11×0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04=12.44$…（6分）
（III） （i）紅包金額在區間內有2人，
所以搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率$P=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}$…（8分）
（ii）由頻率分布表可知，紅包金額在[1，5）內有3人，設紅包金額分別為a，b，c，
在[21，25]內有2人，設紅包金額分別為x，y．
若m，n均在[1，5）內，有3種情況：（a，b），（a，c），（b，c）．
若m，n均在[21，25]內只有1種情況：（x，y）；
若m，n分別在[1，5）和[21，25]內時，有6種情況，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）．
因此基本事件的總數為10種，
而事件“|m-n|＞16”所包含的基本事件個數有6種．
所以事件“|m-n|＞16”的概率為$P（|m-n|＞16）=\frac{6}{16}=\frac{3}{5}$…（12分）

點評 本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．