Question

【題目】已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點(diǎn)，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點(diǎn)在線段上且不與點(diǎn)，重合，直線與由，，三點(diǎn)所確定的平面相交，交點(diǎn)為．

（1）若為的中點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，并證明直線平面；

（2）若，求的長度，并求此時點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）延長交的延長線于，連接交于，利用平面幾何知識得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)線線垂直、線面垂直關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)垂直關(guān)系，再根據(jù)相似三角形以及直角三角形計算得結(jié)果．

(1)延長交的延長線于，

為中點(diǎn)，，為中點(diǎn)，

又，為中點(diǎn)，

連接交于，則為中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，平面；

（2）由題意可知，所以平面，同理可得平面，因?yàn)槎�面�?/span>為60°, ，與是全等的正三角形，取中點(diǎn)，則,由平面，平面得,因此平面，即,平面，

設(shè)，

的長度為．

過作于,則由平面，得平面，即為點(diǎn)到平面的距離，

點(diǎn)到平面的距離為．