Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的左焦點為，橢圓上任意點到的最遠距離是，過直線與軸的交點任作一條斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關于軸的對稱點為.

(1)求橢圓的方程；

(2)求證：、、三點共線；

(3)求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由題意得到關于a,b,c的方程組，求得a,b的值即可確定橢圓方程；

(Ⅱ)設直線的方程為，聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理證明即可證得題中的結論.

(Ⅲ)由題意可得的面積，結合均值不等式的結論確定面積的最大值即可.

(Ⅰ)由題意可得：，解得：，

故橢圓的離心率為：.

(Ⅱ)結合(Ⅰ)中的橢圓方程可得：，故，

設直線的方程為，

聯立直線方程與橢圓方程：可得：

.

直線與橢圓相交，則：，

解得：或.

設，，

則：,

故：

將代入上式可得：，

故三點共線；

(Ⅲ)結合(Ⅱ)中的結論可得：

的面積

.

當且僅當時等號成立，故的面積的最大值為.