Question

設函數f（x）=x²-（a-2）x-alnx，若f（x）在[1，2]上的最小值為1，求實數a的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：先求導，再分類討論，根據函數的單調性求出a的值．

解答： 解：∵f（x）=x²-（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

(x+1)(2x-a)

x

，
當

a

2

≥2，即a≥4時，f（x）單調遞減，f（x）_min=f（2）=4-2（a-2）-aln2=1，解得a=-

1

2+ln2

＜0（舍去）
當1＜

a

2

＜2時，即2＜a＜4時，f（x）在[1，

a

2

]單調遞增，在（

a

2

，2]單調遞減，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+a-aln

a

2

＜0≠1，
當

a

2

≤1時，即a≤2時，f（x）單調遞增，f（x）_min=f（1）=3-a=1，
解得a=2，
綜上所述a的值為2．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數求閉區間上函數的最值，屬于中檔題．