Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點 F，T，R，S滿足

OF

=(0，1)，

OT

=（t，-1），

FR

=

RT

，

SR

⊥

FT

，

ST

∥

OF

（1）當t變化時，求點S的軌跡方程C；
（2）過動點T（t≠0）向曲線C作兩條切線，切點分別為A，B，求證：k_TA•k_TB為定值，并求出這個定值；
（3）在（2）的條件下，探索直線AB是否過定點，若過定點，求出該點；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得點S的軌跡是以F（0，1）為焦點，y=-1為準線的拋物線，且p=2，由此能求出曲線C的方程．
（2）設過點T且與拋物線相切的切線方程為y+1=k（x-t）聯立方程

y+1=k(x-t) x2=4y

，得x²-4kx+4kt+4=0，由此利用根的判別式能證明k_TA•k_TB為定值-1．
（3）由已知得切線TA：x_Ax-2y-2y_A=0，切線TB：x_Bx-2y-2y_B=0，由此能求出直線AB的方程為tx-2y+2=0，過定點（0，1）．

解答： （本小題滿分13分）
（1）解：由已知條件有|

ST

|=|

SF

|，
則點S的軌跡是以F（0，1）為焦點，
y=-1為準線的拋物線，且p=2，
所以曲線C：x²=4y…3 分
（2）證明：設過點T且與拋物線相切的切線方程為y+1=k（x-t）
聯立方程

y+1=k(x-t) x2=4y

，得x²-4kx+4kt+4=0（*）
∵直線與拋物線相切，
∴△=0，即k²-tk-1=0，
∴k_AT，k_TB是方程 （*）的兩個根，
∴k_TA•k_TB=-1．…7 分
（3）解：設A(xA ，yA) ， B(xB ，yB) ，則切線TA方程為 xA•x=4•

yA+y

2

，
即x_Ax-2y-2y_A=0，
同理，切線TB方程為x_Bx-2y-2y_B=0…10分
又 TA，TB都過點T（t，-1），
則：x_At+2-2y_A=0，x_Bt+2-2y_B=0，
∴直線AB的方程為tx-2y+2=0，
則其過定點（0，1）．…13 分

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，考查直線方程是否過定點的判斷與求法，解題時要注意函數與方程思想的合理運用．