Question

7．a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，則數列{a_n}的第6項是$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，則數列{a_n}是以1為首項，3為公差的等差數列，利用等差數列通項公式即可求得數列{a_n}的第6項．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，則數列{a_n}是以1為首項，3為公差的等差數列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
當n=6，則a₆=$\frac{1}{16}$，
故答案為：$\frac{1}{16}$

點評 本題考查等差數列的性質，等差數列通項公式，考查計算能力，屬于基礎題．