Question

已知橢圓C：()經(jīng)過與兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足．求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個長軸頂點(diǎn)，此時．同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個短軸頂點(diǎn)，此時
．②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設(shè)，，由解得，，∴，同理，所以，為定值． 13分

試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，

得解得，．
∴橢圓的方程為．   6分
（Ⅱ）由，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個長軸頂點(diǎn)，此時
．
同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個短軸頂點(diǎn)，此時
．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為（），
則直線OM的方程為，設(shè)，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故為定值．   13分
點(diǎn)評：求橢圓方程采用的待定系數(shù)法，第二問中要證明式子結(jié)果是定值首先需求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可知這三點(diǎn)坐標(biāo)教容易求出，因此只需聯(lián)立方程求解即可