Question

橢圓上不同三點(diǎn)與焦點(diǎn)F（4，0）的距離成等差數(shù)列．
（1）求證x₁+x₂=8；
（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓方程知a=5，b=4，c=3．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：=，|AF|=a-ex₁=5-x₁．同理|CF|=5-x₂．由此能夠證明即x₁+x₂=8．
（2）因?yàn)榫�段AC的中點(diǎn)為（4，），所以它的垂直平分線方程為y-=（x-4），由點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為（x，0），代入上式x-4=，再由點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，知y₂²=（25-x₂²），由此能求出直線的斜率．
解答：（1）證明：由橢圓方程知a=5，b=4，c=3．
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：=，
∴|AF|=a-ex₁=5-x₁． 同理|CF|=5-x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=，
∴（5-x₁）+（5-x₂）=，即x₁+x₂=8．
（2）解：因?yàn)榫�段AC的中點(diǎn)為（4，），所以它的垂直平分線方程為
y-=（x-4）
又∵點(diǎn)T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為（x，0），代入上式x-4=，
又∵點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，
∴y₂²=（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
將此式代入①，并利用x₁+x₂=8的結(jié)論得x0-4=-，K_BT==．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．