Question

橢圓上不同三點與焦點F（4，0）的距離成等差數列．
（1）求證x₁+x₂=8；
（2）若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率．

Answer 1

（1）證明：由橢圓方程知a=5，b=4，c=3．
由圓錐曲線的統一定義知：=，
∴|AF|=a-ex₁=5-x₁．　　同理|CF|=5-x₂．
∵|AF|+|CF|=2|BF|，且|BF|=，
∴（5-x₁）+（5-x₂）=，即x₁+x₂=8．
（2）解：因為線段AC的中點為（4，），所以它的垂直平分線方程為
y-=（x-4）
又∵點T在x軸上，設其坐標為（x₀，0），代入上式x₀-4=，
又∵點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，
∴y₂²=（25-x₂²）
∴y₁²-y₂²=-（x₁+x₂）（x₁-x₂）．
將此式代入①，并利用x₁+x₂=8的結論得x0-4=-，K_BT==．
分析：（1）由橢圓方程知a=5，b=4，c=3．由圓錐曲線的統一定義知：=，|AF|=a-ex₁=5-x₁．同理|CF|=5-x₂．由此能夠證明即x₁+x₂=8．
（2）因為線段AC的中點為（4，），所以它的垂直平分線方程為y-=（x-4），由點T在x軸上，設其坐標為（x₀，0），代入上式x₀-4=，再由點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），都在橢圓上，知y₂²=（25-x₂²），由此能求出直線的斜率．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．