Question

2．∠ACB=90°，平面ABC外有一點P，PC=4cm，點P到角的兩邊AC、BC的距離都等于2$\sqrt{3}$ cm，那么PC與平面ABC所成角的大小為45°．

Answer 1

分析 設P點在ABC平面投影點為O，過P點作BC邊的垂線垂足為D，連接OP，OC，OD，根據，∠ACB=90°，平面ABC外一點P滿足PC=4，P到兩邊AC，BC的距離都是2$\sqrt{3}$ cm，我們分別求出CD，OD，OP的長，進而解出∠PCO的大小，即可得到PC與平面ABC所成角的大�。�

解答 解：設P點在ABC平面投影點為O，過P點作BC邊的垂線垂足為D，
連接OP，OC，OD，如圖所示：

則∠PCO即為PC與平面ABC所成角的平面角
∵P到兩邊AC，BC的距離都是2$\sqrt{3}$cm，
故O點在∠ACB的角平分線上，即∠OCD=45°
由于PC為4cm，PD為2$\sqrt{3}$cm，則CD為2cm．
則△PCD在底面上的投影△OCD為等腰直角三角形．
則OD=CD=2，然后得CO=2$\sqrt{2}$cm，
根據勾股定理得PO=2$\sqrt{2}$cm=CO，
∴∠PCO=45°．
故答案為：45°．

點評 本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中P點在ABC平面投影點為O，構造出∠PCO即為PC與平面ABC所成角的平面角，將線面夾角問題轉化為解三角形問題是解答本題的關鍵．