Question

17．已知集合A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），從中選出3個不同的數，使這3個數按一定的順序排列構成等比數列，記滿足此條件的等比數列的個數為f（n）
（Ⅰ）f（5）=8；
（Ⅱ）若f（n）=220，則n=22．

Answer 1

分析 （I）n=5時，A═{3，3²，3³，3⁴，3⁵}，從中選出3個不同的數，使這3個數按一定的順序排列構成等比數列，則共有3，3²，3³；3²，3³，3⁴；3³，3⁴，3⁵；3，3³，3⁵．其順序反過來也成立．可得f（5）．
（II）A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），公比為3的共有：n-2個；公比為$\frac{1}{3}$的共有：n-2個．公比為3²的共有：n-4個；公比為$\frac{1}{{3}^{2}}$的共有：n-4個．…，則f（n）=220=2[（n-2）+（n-4）+…2]，即可得出．

解答 解：（I）n=5時，A═{3，3²，3³，3⁴，3⁵}，從中選出3個不同的數，使這3個數按一定的順序排列構成等比數列，則共有3，3²，3³；3²，3³，3⁴；3³，3⁴，3⁵；3，3³，3⁵．其順序反過來也成立．因此f（5）=8．
（II）A={3，3²，3³，…，3ⁿ}（n≥3），
公比為3的共有：n-2個；公比為$\frac{1}{3}$的共有：n-2個．
公比為3²的共有：n-4個；公比為$\frac{1}{{3}^{2}}$的共有：n-4個．
…，
則f（n）=220=2[（n-2）+（n-4）+…2]，
∴$\frac{（n-2+2）×\frac{n-2}{2}}{2}×2=220$，n²-2n-440=0，
解得n=22．
故答案為：8，22．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式求和公式及其性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．