Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，且為的中點，延長交于點，且在底內的射影恰為的中點，為的中點，為上任意一點.

（1）證明：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據平面ABCD，得到，由平面幾何知識得到，從而得到平面，所以所以平面平面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，得到這兩個面所成的銳角二面角的余弦值.

（1）由題意，E為CD的中點，

因為平面ABCD，平面ABCD，

所以，又因為，

，，

所以垂直平分，

所以

又因，

所以為正方形，

所以

因為為的中點，

所以

而，所以，

又，所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因為在底面ABCD內的射影恰為OA的中點H，

所以.

因為，所以過點O分別作AD，AB的平行線（如圖），

并以它們分別為x，y軸，

以過O點且垂直于平面的直線為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以，，，，，

所以，，

設平面的一個法向量為，

則，所以

令，則，

由（1）知，平面，所以平面，

所以為平面的一個法向量，

則.

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.