Question

已知點R（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足2

PM

+3

MQ

=

0

，

RP

•

PM

=0．
（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）為軌跡C上兩點，且x₁＞1，y₁＞0，N（1，0），求實數λ，使

AB

=λ

AN

，且|AB|=

16

3

．

Answer 1

分析：（I）設出M的坐標，代入第一個向量等式，表示出P，Q的坐標；將P，Q的坐標代入第二個向量等式，得到軌跡方程．
（II）分類討論直線的斜率；聯立直線與拋物線方程，表示出弦長求出k；檢驗根的范圍，將根代入向量關系求出λ．

解答：解：（Ⅰ）設點M（x，y），由2

PM

+3

MQ

=

0

得P（0，-

y

2

），Q（

x

3

，0）．
由

RP

•

PM

=0，
得（3，-

y

2

）•（x，

3y

2

）=0，即y²=4x
又點Q在x軸的正半軸上，
∴x＞0故點M的軌跡C的方程是y²=4x（x＞0）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知為拋物線C：y²=4x的焦點，
且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點．
當直線AB斜率不存在時，得A（1，2），B（1，-2），|AB|=4＜

16

3

，不合題意；（7分）
當直線AB斜率存在且不為0時，設l_AB：y=k（x-1），代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
則|AB|=x1+x2+2=

2(k2+2)

k2

+2=4+

4

k2

=

16

3

，解得k²=3（10分）
代入原方程得3x²-10x+3=0，由于x₁＞1，
所以x1=3，x2=

1

3

，
由

AB

=λ

AN

，得λ=

x2-x1

xN-x1

=

3- 1 3

3-1

=

4

3

．（13分）

點評：本題考查求曲線方程的方法：相關點法；考查直線與圓錐曲線的位置關系，常用的方法是將直線與圓錐曲線方程聯立；考查過焦點的直線與拋物線相交時弦長公式．