Question

已知點(diǎn)R（-3，0），點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足2+3=，•=1．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C恒有公共點(diǎn)求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直接法求點(diǎn)M的軌跡C的方程，先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示，與，再化簡，就可得點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）直線l方程與（1）中所求點(diǎn)M的軌跡C的方程聯(lián)立，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，先找直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的值，結(jié)合圖象，就可求出直線l：y=x+m（m∈R）與曲線C恒有公共點(diǎn)時(shí)m的范圍．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由，得P（，0），Q（0，-）
由得（，0）•（0，-）=1，
即，
由于點(diǎn)P在x軸的正半軸上，所以x＞0，
故點(diǎn)M的軌跡C的方程為（x＞0）
（2）由
得13x²+18mx+（9m²-6）=0，
△=（18m）²-4×13（9m²-6）=0得  m²=，m=±，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224354977529825/SYS201311012243549775298018_DA/13.png">（x＞0）表示橢圓在y軸右邊部分．

橢圓的上頂點(diǎn)B（0，），
所以數(shù)形結(jié)合得-≤m＜
所以m的取值范圍為[-，]．
點(diǎn)評：本題考查了直接法求曲線方程，以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷．