Question

已知點R（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，．
（Ⅰ）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）為軌跡C上兩點，且x₁＞1，y₁＞0，N（1，0），求實數(shù)λ，使，且．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出M的坐標，代入第一個向量等式，表示出P，Q的坐標；將P，Q的坐標代入第二個向量等式，得到軌跡方程．
（II）分類討論直線的斜率；聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長求出k；檢驗根的范圍，將根代入向量關系求出λ．
解答：解：（Ⅰ）設點M（x，y），由
得P（0，），Q（）．
由，
得（3，）•（x，）=0，即y²=4x
又點Q在x軸的正半軸上，
∴x＞0故點M的軌跡C的方程是y²=4x（x＞0）．（6分）
（Ⅱ）由題意可知為拋物線C：y²=4x的焦點，
且A、B為過焦點N的直線與拋物線C的兩個交點．
當直線AB斜率不存在時，得A（1，2），B（1，-2），|AB|=，不合題意；（7分）
當直線AB斜率存在且不為0時，設l_AB：y=k（x-1），代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
則|AB|=，解得k²=3（10分）
代入原方程得3x²-10x+3=0，由于x₁＞1，
所以，
由，得．（13分）
點評：本題考查求曲線方程的方法：相關點法；考查直線與圓錐曲線的位置關系，常用的方法是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立；考查過焦點的直線與拋物線相交時弦長公式．