Question

一種藥在病人血液中的含量不低于2克時，它才能起到有效治療的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）個單位的藥劑，藥劑在血液中的含量y（克）隨著時間x（小時）變化的函數關系式近似為y=m•f（x），其中f（x）=

10 4+x ， 0≤x＜6 4- x 2 ， 6≤x≤8

．
（1）若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達多少小時？
（2）若病人每一次服用2個單位的藥劑，6個小時后再服用m個單位的藥劑，要使接下來的2小時中能夠持續有效治療，試求m的最小值．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,函數恒成立問題,分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1將m=3代入得y=

30 4+x ，0≤x＜6 12- 3x 2 ，6≤x≤8

；從而解不等式即可．
（2）當6≤x≤8時，y=2（4-

1

2

x）+m[

10

4+x-6

]=8-x+

10m

x-2

，即8-x+

10m

x-2

≥2對6≤x≤8恒成立，即m≥

x2-8x+12

10

對6≤x≤8恒成立，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）∵m=3，∴y=

30 4+x ，0≤x＜6 12- 3x 2 ，6≤x≤8

；
當0≤x＜6時，

30

4+x

＞

30

4+6

=3＞2；
當6≤x≤8時，12-

3

2

x≥2得，x≤

20

3

；
故若病人一次服用3個單位的藥劑，則有效治療時間可達

20

3

小時．
（2）當6≤x≤8時，y=2（4-

1

2

x）+m[

10

4+x-6

]
=8-x+

10m

x-2

，
∵8-x+

10m

x-2

≥2對6≤x≤8恒成立，
故m≥

x2-8x+12

10

對6≤x≤8恒成立，
令g（x）=

x2-8x+12

10

，
則g（x）在[6，8]上是增函數，
故g_max（x）=

6

5

；
故m≥

6

5

；
故m的最小值為

6

5

．

點評：本題考查了函數在實際問題中的應用，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．