Question

已知函數f（x）=acosx+xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的個數；
（Ⅲ）當1＜a＜2時，問函數f（x）有多少個極值點？（只需寫出結論）

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：綜合題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）證明f（-x）=f（x），即可證明f（x）是偶函數．
（Ⅱ）分情況討論：當a＞0時，因為 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
當a=0時，令f（x）=xsinx=0，得 x=0．
當a＜0時，函數f（x）是[0，

π

2

]上的增函數．由f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，可得f（x）在(0，

π

2

)上只有一個零點．
綜上所述，即可求出集合A={x|f（x）=0}中元素的個數；
（Ⅲ）函數f（x）有3個極值點．

解答： （共13分）
解：（Ⅰ）函數f（x）是偶函數，證明如下：…（1分）
對于?x∈[-

π

2

，

π

2

]，則-x∈[-

π

2

，

π

2

]．…（2分）
因為 f（-x）=acos（-x）-xsin（-x）=acosx+xsinx=f（x），
所以 f（x）是偶函數．…（4分）
（Ⅱ）當a＞0時，因為 f（x）=acosx+xsinx＞0，x∈[-

π

2

，

π

2

]恒成立，
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個數為0．…（5分）
當a=0時，令f（x）=xsinx=0，由x∈[-

π

2

，

π

2

]，
得 x=0．
所以 集合A={x|f（x）=0}中元素的個數為1．…（6分）
當a＜0時，因為 f′(x)=-asinx+sinx+xcosx=(1-a)sinx+xcosx＞0，x∈(0，

π

2

)，
所以 函數f（x）是[0，

π

2

]上的增函數．…（8分）
因為 f(0)=a＜0，f(

π

2

)=

π

2

＞0，
所以 f（x）在(0，

π

2

)上只有一個零點．
由f（x）是偶函數可知，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數為2．…（10分）
綜上所述，當a＞0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數為0；當a=0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的個數為1；當a＜0時，集合A={x|f（x）=0}中元素的
個數為2．
（Ⅲ）函數f（x）有3個極值點．…（13分）

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的圖象與性質，函數的性質及應用，屬于中檔題．