Question

已知函數f（x）=|x+1|+2|x-a|，a∈R，
（1）當a=1時，解不等式f（x）＞5；
（2）當a＞0時，若不等式f（x）＞3恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）當a＜0時，若關于x的方程2x[f（x）-1]=a在（1，+∞）上的解集為空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）通過絕對值的含義，去絕對值符號，得到f（x），再解f（x）＞5，最后求并集即可；
（2）通過去絕對值，求得f（x）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；
（3）通過a＜0，x＞1去掉絕對值，化簡方程，分析方程左右兩邊，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）=|x+1|+2|x-1|=

1-3x，x≤-1 3-x，-1＜x＜1 3x-1，x≥1

，
由

1-3x＞5 x≤-1

解得，x＜-

4

3

；由

-1＜x＜1 3-x＞5

解得，x∈∅；
由

3x-1＞5 x≥1

解得，x＞2．
則不等式的解集為（2，+∞）∪（-∞，-

4

3

）；
（2）當a＞0時，f（x）=

-3x+2a-1，x≤-1 2a+1-x，-1＜x＜a 3x+1-2a，x≥a

，
當x≤-1時，f（x）≥2a+2，
當-1＜x＜a時，1+a＜f（x）＜2+2a；
當x≥a時，f（x）≥1+a．
即有f（x）的值域為[1+a，+∞）．
當a＞0時，若不等式f（x）＞3恒成立，即有
3＜1+a，解得，a＞2；
（3）當a＜0且x＞1時，關于x的方程2x[f（x）-1]=a，即為
2x（x+1+2x-2a-1）=a，即為2x（3x-2a）=a，
上式左邊大于0，右邊小于0，顯然方程無解．
則a＜0．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式的恒成立問題轉化為求函數的最值問題，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．