Question

已知函數f(x)=2

3

sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)+2cos2(x-

π

4

)-1，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由周期公式即可求T的值．
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]，可求

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

．從而可求最大值和最小值及相應的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+2cos²（x-

π

4

）-1
=

3

sin（2x+

π

2

）+cos（2x-

π

2

）
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

）
T=

2π

2

=π． …7 分
（Ⅱ）因為x∈[0，

π

2

]，
所以 

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

．
所以 當2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，y_max=2；
當2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時，ymin=-

3

．…（13分）
所以當x=

π

12

時，函數有最大值是2；當x=

π

2

時，函數有最小值是-

3

．

點評：本題主要考察了三角函數中的恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的圖象與性質，屬于中檔題．