Question

在△AOB中，G為△AOB的重心（三角形中三邊上中線的交點叫重心），且∠AOB=60°．若

OA

•

OB

=6，則|

OG

|的最小值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,不等式的解法及應用,平面向量及應用

分析：設AB的中點為C，則點G在OC上，運用重心的性質和中點向量的表示，再由向量的數量積的定義，結合基本不等式即可求得最小值．

解答： 解：設AB的中點為C，則點G在OC上，
且

OG

=

2

3

OC

=

2

3

•

OA + OB

2

=

1

3

（

OA

+

OB

），
∵

OA

•

OB

=||

OA

|•|

OB

|•cos60°=6，
∴|

OA

|•|

OB

|=12．
則|

OG

|=

1

3

（|

OA

+

OB

|=

1

3

( OA + OB )2

=

1

3

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=

1

3

| OA |2+| OB |2+12

≥

1

3

2| OA |•| OB |+12

=

1

3

×

2×12+12

=2，
當且僅當|

OA

|=|

OB

|時，等號成立，故|

OG

|的最小值是2，
故答案為：2．

點評：本題主要考查三角形的重心的定義和性質，考查向量的數量積的定義和性質及模，基本不等式的應用，屬于中檔題．