Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，在的延長(zhǎng)線上，且.

(1)證明:平面.

(2)過點(diǎn)作的平行線，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連接，過作交于，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，得，證得線面平行；

（2）考慮三棱錐的體積，利用等體積法求出到平面的距離為，到平面的距離是到平面的距離的一半，即可得解.

（1）證明:記的中點(diǎn)為，連接，過作交于，連接，

則，且.

因?yàn)?/span>平面，所以.

在中，，，易求，.

又，則.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，且，所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>平面，所以，而是正方形，所以.

因?yàn)?/span>與顯然是相交直線，所以平面，

所以平面平面.

記的中點(diǎn)為，連接，，則平面，且.

因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，，

在中，，，，所以.

，所以，

而三棱錐的體積.

記到平面的距離為，

則，所以.

因?yàn)?/span>到平面的距離是到平面的距離的一半，

所以到平面的距離為.