Question

已知函數f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
（1）當a=1，b=0時，求f（x）的最大值；
（2）當b=1時，設α，β是f（x）的兩個極值點，且α＜β，β∈（1，e]（其中e為自然對數的底數）．求證：對任意的x₁，x₂∈[α，β]，|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：本題（1）在條件a=1，b=0下，對函數f（x）求導函數，根據導函數值正負，得到函數的單調區間，求出f（x）的最大值，得到本題結論；（2）先根據條件α，β是f（x）的兩個極值點，得到α，β是f′（x）=0的兩個根，將|f（x₁）-f（x₂）|轉化為[f（x）]_max、[f（x）]_min的關系得到關于a的函數，再構造新函數，求出最值，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=alnx+

1

2

bx2-(a+b)x，
∴x＞0，f′（x）=

a

x

+bx-(a+b)，
（1）當a=1，b=0時，f′（x）=

1-x

x

，
令f′（x）＞0，得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，得：x＞1．
∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
∴[f（x）]_max=f（1）=-1．
（2）當b=1時，f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x，
則f′（x）=

(x-1)(x-a)

x

，
令f′（x）=0，得：x=1或x=a．
∵α，β是f（x）的兩個極值點，且α＜β，β∈（1，e]，
∴α=1，β=a∈（1，e]，
∴當x∈[α，β]時，f′（x）≤0，即f（x）在[α，β]上單調遞減，
∴[f（x）]_min=f（a），[f（x）]_max=f（1），
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min=f（1）-f（a）=

1

2

a2-alna-

1

2

．
令g（a））=

1

2

a2-alna-

1

2

．
則g′（a）=a-1-lna，
由（1）知：lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
即g′（a）≥0，g（a）在（1，e]單調遞增，
∴g（a）≤g（e）=

1

2

e²-e-

1

2

=e(

1

2

e-1)-

1

2

＜3(

3

2

-1)-

1

2

=1．
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

點評：本題考查了導函數在函數研究中的應用，還考查了構造函數的思想，本題思維難度較大，計算復雜，屬于難題．