Question

（本題滿分12分）
如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ，為的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，在棱上存在點(diǎn)，使平面？

Answer 1

（1）（2）2

試題分析：（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、．
以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，則、、的坐標(biāo)分別為
（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
設(shè)平面的法向量，
由得
，可取         …… 3分
平面的法向量可以取           
∴           …… 5分
∴平面與平面的夾角的余弦值為．                  ……6分
（2）在（1）的坐標(biāo)系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，設(shè)，則

∴
于是平面的充要條件為

由此解得，    ……10分
即當(dāng)=2時(shí)，在上存在靠近的第一個(gè)四等分點(diǎn)，使平面. ……12分
點(diǎn)評(píng)：空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系，找準(zhǔn)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)