Question

（本小題滿分16分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，．以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面切于點(diǎn)．

（1）求證：PD⊥平面；
（2）求直線與平面所成的角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）先證，推出，證明；
（2）；（3） 

試題分析：（1）證：依題設(shè)，在以為直徑的球面上，則,……2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002310331901.png" style="vertical-align:middle;" />，則，又，
所以，則， ……4分
因此有， ……5分
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，，            ……8分

設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，
令，則，即.           ……10分
設(shè)所求角為，則，        ……12分
（3）設(shè)所求距離為，由，得： ……16分
點(diǎn)評：典型題，立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明及角的計(jì)算問題是高考中的必考題，通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用空間向量，可使問題簡化。