Question

如圖，長方體中，，，點(diǎn)在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則．
，．　　　                    ……2分
有，，
故，．
又，所以平面． 　　　                                     ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)向量是平面的法向量，則
  
令，則，，．                                          ……10分
．
所以二面角的余弦值為．                                            ……13分

點(diǎn)評：用空間向量證明立體幾何問題的依據(jù)還是相應(yīng)的判定定理，如第一問中必須強(qiáng)調(diào)；另外，用法向量求二面角時(shí)，求出的可能是要求的角的補(bǔ)角，要仔細(xì)判斷二面角時(shí)銳角還是鈍角.