Question

已知F₁、F₂為橢圓的左、右焦點，若M為橢圓上一點，且△MF₁F₂的內切圓的周長等于3π，則滿足條件的點M有
（ ）個．
A．0
B．1
C．2
D．4

Answer 1

【答案】分析：設△MF₁F₂的內切圓的半徑等于r，根據2πr=3π，求得 r 的值，由橢圓的定義可得  MF₁ +MF₂=2a，故△MF₁F₂的面積等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r，又△MF₁F₂的面積等于  2c y_M=12，求出y_M的值，可得答案．
解答：解：設△MF₁F₂的內切圓的內切圓的半徑等于r，則由題意可得 2πr=3π，∴r=．
由橢圓的定義可得  MF₁ +MF₂=2a=10，又 2c=6，
∴△MF₁F₂的面積等于  （ MF₁ +MF₂+2c ）r=8r=12．
又△MF₁F₂的面積等于  2c y_M=12，∴y_M=4，故 M是橢圓的短軸頂點，故滿足條件的點M有2個，
故選  C．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，求出 y_M=4，是解題的關鍵．