Question

已知F₁、F₂為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的兩個焦點，點P是橢圓上的一個動點，則|PF₁|•|PF₂|的最小值是

9

．

Answer 1

分析：由題意，設|PF₁|=x，故有|PF₁|•|PF₂|=x（10-x）=-x²+10x=-（x-5）²+25，通過x的范圍，根據二次函數的在閉區間的最值的求法，可求|PF₁|•|PF₂|的最小值．

解答：解：由題意，設|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
∴|PF₂|=10-x
∴|PF₁|•|PF₂|=x（10-x）=-x²+10x=-（x-5）²+25
∵橢圓中a=5，b=3，c=4，
∴1≤x≤9
∵函數y=-x²+10x在[1，5）上單調遞增，[5，9]上單調遞減
∴x=1或9時，y=-x²+10x取最小值9．
故答案為：9．

點評：本題以橢圓的標準方程為載體，考查橢圓定義的運用，考查函數的構建，考查函數的單調性，屬于中檔題．