Question

已知F₁、F₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，B為橢圓短軸的一個端點，

BF1

•

BF2

≥

1

2

F1F2

2則橢圓的離心率的取值范圍是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：寫出點B，F₁，F₂的坐標，利用向量的數量積公式得到b²≥3c²，再利用橢圓中三個參數的關系得到a²≥4c²，求出離心率的范圍．

解答：解：根據題意得B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0）
因為

BF1

•

BF2

≥

1

2

F1F2

2
所以b²≥3c²
又因為b²=a²-c²
所以a²≥4c²
所以

c

a

≤

1

2

故答案為（0，

1

2

]

點評：本題考查橢圓的性質，求其離心率即求出橢圓中三個參數的范圍即可，是一道基礎題．