Question

8．把1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展開成關于x的多項式，其各項系數和為f（n），則不等式f（n）≥n²+2的解集為（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． [0，1]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 利用賦值法，通過x=1直接求出展開式各項系數和f（n）的值，代入f（n）≥n²+2，利用導數可得不等式f（n）≥n²+2的解集為[1，+∞）．

解答 解：當x=1時，1+（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ展開成關于x的多項式，其各項系數和為f（n）=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{1×（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1，
代入f（n）≥n²+2，得2ⁿ⁺¹-1＞n²+2，即2ⁿ⁺¹＞n²+3，
令g（n）=2ⁿ⁺¹-n²-3，g′（n）=2ⁿ⁺¹ln2-2n，當n≥1時，g′（n）≥0，g（n）在[1，+∞）上為增函數，
又g（1）=2²-1-3=0，
∴不等式f（n）≥n²+2的解集為[1，+∞），
故選：A．

點評 本題考查二項式定理的應用，賦值法以及數列求和的基本方法，考查計算能力，是中檔題．