Question

如圖(1),已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6,高為的等腰梯形.將它沿對稱軸OO₁折成直二面角,如圖(2).

                (1)

               (2)

(1)證明AC⊥BO₁;

(2)求二面角O-AC-O₁的大小.

Answer 1

(1)證明:由題設知OA⊥OO₁,OB⊥OO₁,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.

從而AO⊥平面OBCO₁,OC是AC在面OBCO₁內的射影.

因為tan∠OO₁B=,

tan∠O₁OC=,

所以∠OO₁B=60°,∠O₁OC=30°.從而OC⊥BO₁.

由三垂線定理得AC⊥BO₁.

(2)解析:由(1)AC⊥BO₁,OC⊥BO₁,知BO₁⊥平面AOC.

設OC∩O₁B=E,過點E作EF⊥AC于F,連結O₁F(如圖(3)),

                   (3)

則EF是O₁F在平面AOC內的射影,由三垂線定理得O₁F⊥AC,所以∠O₁FE是二面角OACO₁的平面角.

由題設知OA=3,OO₁=,O₁C=1,

所以O₁A=.

從而O₁F=.

又O₁E=OO₁·sin30°=,

所以sin∠O₁FE=,

即二面角O-AC-O₁的大小是arcsin.