Question

如圖1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD邊的中點，以AE為棱，將△DAE向上折起，將D變到D′的位置，使面D′AE與面ABCE成直二面角（圖2）．
（1）求直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求證：AD′⊥BE；
（4）求異面直線AD′與BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）根據二面角的定義，作D′O⊥AE于O，連 OB，可得∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角，解直角△D′OB，即可求出直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）連接BE，則BE⊥AE于E，由線面垂直的性質，由（1）中結論D′O⊥平面ABCE，可得D′O⊥BE，結合線面垂直的判定定理，證得BE⊥平面AD′E后，易得AD′⊥BE；  
（3）求異面直線AD′與BC所成的角，關鍵是作出線線角，作AK∥BC交CE的延長線于K，則∠D′AK是異面直線AD′與BC所成的角

解答：解：（1）∵D′-AE-B是直二面角，
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
作D′O⊥AE于O，連 OB，則D′O⊥平面ABCE．
∴∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中點，
AO=OE=D′O=

2

2

a，∠D′AE=∠BAO=45°．
∴在△OAB中，OB=

OA2+AB2-2•OA•ABcos45°

=

( 2 2 a)2+(2?a)2-2•( 2 2 a)(2a) 2 2

=

10

2

a．
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=

D′O

OB

=

5

5

．
（2）如圖，連接BE，
∵∠AED=∠BEC=45°，
∴∠BEA=90°，
即BE⊥AE于E．
∵D′O⊥平面ABCE，
∴D′O⊥BE，
∴BE⊥平面AD′E，
∴BE⊥AD′．
（3）作AK∥BC交CE的延長線于K，
∴∠D′AK是異面直線AD′與BC所成的角，
∵四邊形ABCK是矩形，
∴AK=BC=EK=a．
連接OK，D′K，
∴OK=D′O=

2

2

a，∠D′OK=90°，∴D′K=a，AK=AD′=D′K=a．
∴△D′AK是正三角形，∴∠D′AK=60°，
即異面直線AD′與BC成60°

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，空間中直線與直線之間的位置關系，點到平面的距離計算，其中（1）的關鍵是確定∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角，（2）的關鍵是熟練掌握空間中線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，（3）的關鍵是作出線線角．