Question

（1）某工廠準(zhǔn)備在倉庫的一側(cè)建立一個(gè)矩形儲(chǔ)料場(chǎng)（如圖1），現(xiàn)有50米長(zhǎng)的鐵絲網(wǎng)，如果用它來圍成這個(gè)儲(chǔ)料場(chǎng)，那么長(zhǎng)和寬各是多少時(shí)，這個(gè)儲(chǔ)料場(chǎng)的面積最大？并求出這個(gè)最大的面積．
（2）如圖2，已知AB、DE是圓O的直徑，AC是弦，AC∥DE，求證CE=EB．
（3）如圖3所示的棱長(zhǎng)為a的正方體中：①求CD₁和AB所成的角的度數(shù)；②求∠B₁BD₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由圖可知儲(chǔ)料場(chǎng)是個(gè)矩形，設(shè)出其長(zhǎng)為x寬為y，根據(jù)條件2x+y=50，用y表示出x，然后用配方法求出其最大值；
（2）根據(jù)中位線定理可得EB=

1

2

CB，然后再結(jié)合條件CB=CE+EB，進(jìn)行證明；
（3）①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，是個(gè)等腰三角形進(jìn)而求解；②利用正弦三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：（1）解：設(shè)矩形儲(chǔ)料場(chǎng)的長(zhǎng)為x寬為y，則因其一面靠墻，所以應(yīng)有2x+y=50，即y=50-2x，設(shè)儲(chǔ)料場(chǎng)的面積為S，
則S=xy=x（50-2x）
=-2x²+50x
=-2（x-12.5）²+312.5
∴當(dāng)x=12.5時(shí)，儲(chǔ)料場(chǎng)的面積最，S=312.5米²此時(shí)y=25米．

（2）解：證：∵AC∥DE，∴∠1=∠2．
∴EB=

1

2

CB，CB=2EB
但CB=CE+EB，
∴2EB=CE+EB，CE=EB，CE=EB．

（3）解：①CD₁和AB所成的角等于∠D₁CD，
∵△D₁CD是等腰三角形，∴∠D₁CD=45°．
②∵D₁B₁=

2

a，D₁B=

3

a，
∴sin∠B1BD1=

D1B1

D1B

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：（1）是一道實(shí)際應(yīng)用題，考查二次函數(shù)的最值問題，主要配方法是高考常用的方法；
（2）考查圓內(nèi)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，利用三角形中位線定理進(jìn)行求解；
（3）是一道簡(jiǎn)單的立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是找出所求的角，是一道基礎(chǔ)題．