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已知2f(x)-f(
1
x
)=x,x∈R
且x≠0.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數f(x)的值域.
(1)在2f(x)-f(
1
x
)=x
中,…①…
1
x
代替x,得2f(
1
x
)-f(x)=
1
x
,…②…
①×2+②,得3f(x)=2x+
1
x

所以f(x)=
2x
3
+
1
3x
(x≠0)

所以函數f(x)的解析式為f(x)=
2x
3
+
1
3x
(x≠0)

(2)由y=
2x
3
+
1
3x
得3xy=2x2+1,即2x2-3y•x+1=0.
因為x≠0,x∈R,所以關于x的方程2x2-3y•x+1=0有實數根.故△=9y2-8≥0,即y2
8
9

解得y≤-
2
2
3
,或y≥
2
2
3

所以函數f(x)的值域為(-∞,-
2
2
3
]∪[
2
2
3
,+∞)
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知2f(x)-f(
1x
)=x,x∈R
且x≠0.
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函數f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知2f(x)+f(
1
x
)=2x+1
,則f(x)=
4x
3
-
2
3x
+
1
3
4x
3
-
2
3x
+
1
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知2f(x)+f(-x)=3x+2,則f(x)=__________.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)已知f(+1)=x+2,求f(x),f(x+1),f(x2);

(2)已知2f(x)+f()=10x,求f(x).

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