Question

已知2f(x)-f(

1

x

)=x，x∈R且x≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用方程組法求解該函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為方程有根問題求解．

解答：解：（1）在2f(x)-f(

1

x

)=x中，…①…
以

1

x

代替x，得2f(

1

x

)-f(x)=

1

x

，…②…
①×2+②，得3f(x)=2x+

1

x

，
所以f(x)=

2x

3

+

1

3x

(x≠0)．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

2x

3

+

1

3x

(x≠0)．
（2）由y=

2x

3

+

1

3x

得3xy=2x²+1，即2x²-3y•x+1=0．
因為x≠0，x∈R，所以關(guān)于x的方程2x²-3y•x+1=0有實數(shù)根．故△=9y²-8≥0，即y2≥

8

9

．
解得y≤-

2 2

3

，或y≥

2 2

3

．
所以函數(shù)f（x）的值域為(-∞，-

2 2

3

]∪[

2 2

3

，+∞)．

點評：本題考察構(gòu)造方程利用方程組法求函數(shù)解析式、函數(shù)最值的求解，（2）中函數(shù)單調(diào)性比較難判斷，所以采用轉(zhuǎn)化思想解答．