Question

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經預測一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
（Ⅰ）試寫出y關于x的函數關系式；
（Ⅱ）當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出相鄰橋墩間距x米，需建橋墩個，根據題意余下工程的費用y為橋墩的總費用加上相鄰兩墩之間的橋面工程總費用即可得到y的解析式；
（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后討論函數的增減性判斷函數的最小值時m的值代入中求出橋墩個數即可．
解答：解：（Ⅰ）相鄰橋墩間距x米，需建橋墩個
則
（Ⅱ）當m=640米時，y=f（x）=640×（+）+1024
f′（x）=640×（-+）=640×
∵f′（2⁶）=0且x＞2⁶時，
f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
0＜x＜2⁶時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減
∴f（x）_最小=f（x）_極小=f（2⁶）=8704
∴需新建橋墩個．
點評：考查學生會根據實際問題選擇函數關系的能力，會利用導數研究函數的增減性以及求函數最值的能力．