Question

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經預測一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+

x

)x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
（Ⅰ）試寫出y關于x的函數關系式；
（Ⅱ）當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出相鄰橋墩間距x米，需建橋墩(

m

x

-1)個，根據題意余下工程的費用y為橋墩的總費用加上相鄰兩墩之間的橋面工程總費用即可得到y的解析式；
（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后討論函數的增減性判斷函數的最小值時m的值代入(

m

x

-1)中求出橋墩個數即可．

解答：解：（Ⅰ）相鄰橋墩間距x米，需建橋墩(

m

x

-1)個
則y=256(

m

x

-1)+(2+

x

)x•

m

x

=256•

m

x

+m

x

+2m-256，(0＜x＜m)
（Ⅱ）當m=640米時，y=f（x）=640×（

256

x

+

x

）+1024
f′（x）=640×（-

256

x2

+

1

2 x

）=640×

x 3 2 -29

2x2

∵f′（2⁶）=0且x＞2⁶時，
f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
0＜x＜2⁶時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減
∴f（x）_最小=f（x）_極小=f（2⁶）=8704
∴需新建橋墩

640

26

-1=9個．

點評：考查學生會根據實際問題選擇函數關系的能力，會利用導數研究函數的增減性以及求函數最值的能力．