Question

某地方政府在某地建一座橋，兩端的橋墩相距m米，此工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩（包括兩端的橋墩）．經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的費(fèi)用為256萬(wàn)元，相鄰兩個(gè)橋墩之間的距離均為x，且相鄰兩個(gè)橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(1+

x

)x萬(wàn)元，假設(shè)所有橋墩都視為點(diǎn)且不考慮其它因素，記工程總費(fèi)用為y萬(wàn)元．
（1）試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)m=1280米時(shí)，需要新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)出橋墩和橋面工程量，然后根據(jù)題意建立工程總費(fèi)用與工程量的函數(shù)關(guān)系．
（2）當(dāng)m=1280米時(shí)，代入已知函數(shù)表達(dá)式，求出此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出最值以及此時(shí)x的值．

解答：解：根據(jù)題意，
需要建(

m

x

+1)個(gè)橋墩和

m

x

段橋面工程，
（1）y=256(

m

x

+1)+

m

x

(1+

x

)x=m(

x

+

256

x

)+m+256  (x＞0，

m

x

∈N*)
（2）當(dāng)m=1280時(shí)，y=1280(

x

+

256

x

)+1536，
y′=1280(

1

2 x

-

256

x2

)，
令y′=0得x=64，
當(dāng)0＜x＜64時(shí)，y′＜0；
當(dāng)x＞64時(shí)，y′＞0．
所以當(dāng)x=64時(shí)，
y有最小值16896，
此時(shí)要建21個(gè)橋墩．
故：需要建21個(gè)橋墩才能使y最小．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型從而解決問(wèn)題．本題需要構(gòu)建一個(gè)工程總費(fèi)用與工程量的函數(shù)關(guān)系．并注明取值范圍．需要對(duì)知識(shí)熟練的掌握并應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．