Question

給出下列命題：
（1）函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個零點；
（2）若關(guān)于x的方程（

1

2

）^|x|-m=0有解，則實數(shù)m的取值范圍是（0，1]；
（3）函數(shù)f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[-1，1]；
（4）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象的一個對稱中心為（

π

3

，0）；
（5）已知函數(shù)f（x）=2cosx，若存在實數(shù)x₁，x₂，使得對任意的實數(shù)x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為2π．
其中正確命題的序號是

 

（把你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）當(dāng)x=kπ（k∈Z）時，tanx=0，可知（1）正確；
（2）依題意知m=（

1

2

）^|x|，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性可求得m的取值范圍，從而可判斷（2）的正誤；
（3）通過對sinx≥0與sinx＜0的討論，去掉絕對值符號，可求得函數(shù)的值域，從而可判斷（3）的正誤；
（4）利用正弦函數(shù)的對稱性由f（

π

3

）=0可判斷（4）的正誤；
（5）依題意，|x₁-x₂|的最小值為

1

2

T，從而可判斷（5）的正誤．

解答： 解：（1）當(dāng)x=kπ（k∈Z）時，tanx=0，故函數(shù)f（x）=tanx有無數(shù)個零點，正確；
（2）∵（

1

2

）^|x|-m=0，
∴m=（

1

2

）^|x|，
當(dāng)x≥0時，0＜（

1

2

）^x≤1，又y=（

1

2

）^x為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，（

1

2

）^|x|，∈（0，1]；
∴關(guān)于x的方程（

1

2

）^|x|-m=0有解，則實數(shù)m的取值范圍是m=（

1

2

）^|x|∈（0，1]，即（2）正確；
（3）當(dāng)sinx≥0時，f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=sinx，故0≤f（x）≤1；
當(dāng)sinx＜0時，f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|=

1

2

sinx-

1

2

sinx=0；
綜上所述，函數(shù)f（x）=

1

2

sinx+

1

2

|sinx|的值域是[0，1]，故（3）錯誤；
（4）∵f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

3

）=0，
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

3

）的圖象的一個對稱中心為（

π

3

，0），正確；
（5）依題意，|x₁-x₂|的最小值為

1

2

T=

1

2

×

2π

1

=π，故（5）錯誤；
綜上所述，正確命題的序號是（1）（2）（4），
故答案為：（1）（2）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，屬于中檔題．