Question

9．已知拋物線C：y²=4x，直線l：x=-1．
（1）若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到坐標原點的距離相等，求Q的坐標；
（2）過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求證：直線AB過定點．

Answer 1

分析 （1）設Q（x，y），則（x+1）²=x²+y²，即y²=2x+1，與拋物線方程聯立，得Q的坐標；
（2）先通過特例求出定點，再證明一般性結論．

解答 （1）解：設Q（x，y），則（x+1）²=x²+y²，即y²=2x+1，
與拋物線方程聯立，得Q（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）；
（2）證明：設直線方程為y-t=k（x+1）（k≠0），代入拋物線方程整理得ky²-4y+4t+4k=0，
△=0，可得k²+kt-1=0．
特別地，t=0，k=±1，這時切點為A（1，2），B（1，-2），AB過定點F（1，0）．
一般地，k₁+k₂=t，k₁k₂=-1，切點為A（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{1}}$），B（$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1，$\frac{2}{{k}_{1}}$），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-1，$\frac{2}{{k}_{2}}$），
∴（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1）$\frac{2}{{k}_{2}}$-=$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$-1）$\frac{2}{{k}_{1}}$）=0，
∴$\overrightarrow{FA}$∥$\overrightarrow{FB}$，
∴AB過點F（1，0），
綜上所述，直線AB過點F（1，0）．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．