Question

16．（1）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=-$\frac{3}{2}$x，焦距為2$\sqrt{13}$，求此雙曲線的標準方程；
（2）求以雙曲線$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據題意，設雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$，據此分兩種情況討論：①當λ＞0時，其方程為：$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1，由題意可得4λ+9λ=13，解可得λ的值，代入雙曲線的方程可得一個雙曲線的方程，②當λ＜0時，方程為$\frac{{y}^{2}}{-9λ}$-$\frac{{x}^{2}}{-4λ}$=1，同理計算可得λ的值，代入雙曲線的方程可得另一個雙曲線的方程，綜合可得答案；
（2）根據題意，由雙曲線的方程，可得該雙曲線的焦點、頂點的坐標，繼而可得要求橢圓的焦點．頂點的坐標，代入橢圓的標準方程可得答案．

解答 解：（1）根據題意，由于雙曲線的漸近線方程為$y=-\frac{3}{2}x$，可設雙曲線方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$；
分兩種情況討論：
①當λ＞0時，其方程為：$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1，焦點在x軸上，
則有4λ+9λ=13，解可得λ=1，
則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
②當λ＜0時，方程為$\frac{{y}^{2}}{-9λ}$-$\frac{{x}^{2}}{-4λ}$=1，
則有（-9λ）+（-4λ）=1，解可得λ=-1，
則雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
綜上所述，雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
所以該雙曲線的焦點坐標為（0，5）和（0，-5），頂點為（0，4）和（0，-4）．
所以橢圓的焦點坐標是（0，4）和（0，-4），頂點為（0，5）和（0，-5）
所以該橢圓的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的標準方程的求法，對于此類問題，需要首先分析明確橢圓、雙曲線焦點的位置，不能明確的需要分類討論．