Question

14．已知點P（2，1）是拋物線上x²=4y上的一點，點M，N是拋物線上的動點（M，N，P三點不共線），直線PM，PN分別交y軸于A，B兩點，且|PA|=|PB|，則直線MN的斜率為-1．

Answer 1

分析 由題意可知k_PA+k_PB=0，根據直線的斜率公式即可求得x₁+x₂=-4，則k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，代入即可求得直線MN的斜率．

解答 解：由|PA|=|PB|，則PA，PB的傾斜角互補，即k_PA+k_PB=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，即$\frac{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$+$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=0，
∴x₁+x₂=-4，
∴k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=-1，
∴直線MN的斜率為-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查直線的斜率公式，拋物線的簡單幾何性質，考查數形結合思想，屬于中檔題．