Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax，其中a為實數．

（1）求出f（x）的單調區間；

（2）在a＜1時，是否存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）,恒有f（x）+a＞0，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）在a＜1時，存在m＞1，使得對任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。理由見解析。

【解析】

（1）對函數求導，并分a≤0和a＞0兩種情況討論。可求出結果；（2）結合（1）將a＜1分為a≤0和兩種情況進行討論即可。

（1）∵f（x）=lnx﹣ax，

∴ ，

當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，

函數f(x)在定義域（0，+∞）遞增；無減區間

當a＞0時，令f'（x）=0，則x= ，

當x∈（0，）時，f'（x）＞0，函數為增函數，

當x∈（，+∞）時，f'（x）＜0，函數為減函數。

（2）在a＜1時，存在m＞1，使得對任意的x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。

理由如下：

由（1）得

當a≤0時，函數f(x)在（1，m）遞增，

，

，

即f（x）+a＞0。

綜上可得：在a＜1時，存在m＞1，使得對任意x∈（1，m）恒有f（x）+a＞0。