已知圓
：
，點
，直線
.
(1)求與圓相切，且與直線
垂直的直線方程；
（2）在直線
上（
為坐標原點），存在定點
（不同于點
），滿足：對于圓上的任一點
，都有
為一常數，試求出所有滿足條件的點的坐標.
（1）
（2）見解析
解析試題分析：（1）根據所求直線與已知直線垂直,可設出直線方程,再根據直線與圓相切,所以有
(其中
表示圓心到直線的距離),可得到直線方程;
（2）方法一:假設存在這樣的點
,由于
的位置不定,所以首先考慮特殊位置,①為圓與
軸左交點或②
為圓與軸右交點這兩種情況,由于對于圓上的任一點，都有為一常數,所以①②兩種情況下的相等, 可得到
,然后證明在一般的
下, 為一常數.
方法二:設出,根據對于圓上的任一點，都有為一常數,設出以及該常數
,通過
,代入的坐標化簡,轉化為恒成立問題求解.
試題解析：（1）已知直線變形為為
，因為所求直線與已知直線垂直，
所以設所求直線方程為
，即
.
由直線與圓相切，可知，其中表示圓心到直線的距離，
則
，得
，故所求直線方程為.
（2）假設存在這樣的點，
當為圓與軸左交點
時，
，
當為圓與軸右交點
時，
依題意，
，解得
（舍去），或
.
下面證明：點
對于圓上任一點，都有為一常數.
設，則
.
，
從而
為常數.
方法2：假設存在這樣的點，使得為常數
，則
，
設于是
，由于在圓上,所以,代入得，
，
即
對
恒成立，
所以
，解得
或
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓C過點P（1，1），且與圓M：(x+2)2+(x+2)2=r2(r>0)2關于直線x+y+2=0對稱．
⑴求圓C的方程；
⑵設Q為圓C上的一個動點，求
的最小值；
⑶過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知以點C
(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
(1)求證：△AOB的面積為定值；
(2)設直線2x＋y－4＝0與圓C交于點M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；
(3)在(2)的條件下，設P、Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C的動點，求|PB|＋|PQ|的最小值及此時點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓C的方程為：x2＋y2－2mx－2y＋4m－4＝0.(m∈R)．
(1)試求m的值，使圓C的面積最�。�
(2)求與滿足(1)中條件的圓C相切，且過點(1，－2)的直線方程．
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中，以O為圓心的圓與直線
相切.
軸相交于
兩點，圓內的動點
滿足
，
的取值范圍.
軸所得弦長為
；②被
軸分成兩段圓弧，其弧長的比為
；③圓心到直線
：
的距離為
的圓的方程。
為圓心的圓與直線
相切，過點
的動直線與圓
相交于
兩點.
時，求直線
的方程.
，求該圓的方程．
和直線
所得弦長分別為
，求動圓圓心的軌跡方程。